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【全国校级联考Word】江西省抚州市金溪一中等七校2016-2017学年高二下学期期末考试(B卷)理数试题

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             2016—2017      学年下学期学业发展水平测试高二年级
                                 理科数学试卷·B               卷

                                      第Ⅰ卷  选择题
一、选择题:本大题共             12 个小题,每小题        5 分,共   60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.

1.已知复数     z 满足 z  (1 2i)  5i ( i 为虚数单位),则复数     z 的虚部等于(   )

A. 1                  B. -1                   C. 2                  D. -2

                                 2
2.已知随机变量       服从正态分布      B(1,2 ) ,若 P(  2)  0.8 ,则 P(0    2)  (   )

A. 1                  B. 0.8                  C. 0.6                D. 0.3

3.下面是    2 2 列联表:


                              y1        y2        合计


                     x1       a         21        63


                     x2       22        35        57

                    合计        b         56        120

 则表中    a,b 的值分别为(   )

A. 84,60             B. 42,64           C. 42, 74             D. 74, 42

                                   n4  n2
                  1 2  3L  n2 
4.用数学归纳法证明                            2   ,则当   n  k 1时,左端应在      n  k 的基础上加上(   

)

     2                                             2
A.  k 1                                  B. (k 1)

    (k 1) 4  (k 1) 2
                                               2        2               2
C.         2                               D. (k 1)  (k  2) L  (k 1)

5. 以下四个命题,其中正确的个数有(   )

①由独立性检验可知,有           99% 的把握认为物理成绩与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则他有                            99%的可

能物理优秀.

②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于                          1;
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                 ^                                                   ^
③在线性回归方程         y  0.2x 12 中,当解释变量     x 每增加一个单位时,预报变量            y 平均增加    0.2 个单位;

                                     2
④对分类变量       X 与Y  ,它们的随机变量        K  的观测值    k 来说,  k 越小,“    X 与Y  有关系”的把握程度越大.

A. 1                 B. 2              C. 3             D. 4

          2
       y 
6.曲线       x 与直线   y  x 1 与直线  x  1所围成的封闭图形的面积为(   )

    3                     5                                                1
                                                                    2ln 2 
A.  4                  B. 2               C. 4  2ln 2              D.     2

7.随机变量     X 的分布列如下: 

                             X         -1        0          1
                                                 1
                             P          a                    b
                                                 3
        1
   EX 
若       3 ,则  DX  的值是(   )

    1                    2                  4                        5
A.  9                  B. 9                C. 9                     D. 9

                                                                 2
8.实验女排和育才女排两队进行比赛,在一局比赛中实验女排获胜的概率是                               3 ,没有平局.若采用三局两

胜制,即先胜两局者获胜且比赛结束,则实验女排获胜的概率等于(   )

    4                     20                  8                    16
A.  9                  B. 27               C. 27                 D. 27

                                             
                                       l :   (  R)
9.在极坐标系中,设圆         C :   4cos 与直线        4        交于   A,B  两点,则以线段       AB 为直径的

圆的极坐标方程为(   )

                                                                   
      2 2 sin(  )                                  2 2 sin(  )
A.                 4                              B.                4

                                                                     
      2 2 cos(   )                                 2  2 cos(  )
C.                 4                               D.                 4

                  2
                 x     2
                     y  1    u  2x  y  4  3  x  2y
10.已知   x、y 满足   3         ,则                           的取值范围为(   )
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A.  1,12               B.0,6            C. 0,12               D. 1,13

                          1nx
          f (x)  x 2  2ex   a
11.设函数                     x     (其中   e 为自然对数的底数),若函数            f (x) 至少存在一个零点,则

实数   a 的取值范围是(   )

            1                                          1
    (0, e2  ]                                 (0, e2  ]
A.          e                                B.        e

        1                                                1
    [e2  ,  )                               (,  e2   ]
C.      e                                    D.          e

12.某单位从     6 男 4 女共 10 名员工中,选出       3 男 2 女共  5 名员工,安排在周一到周五的            5 个夜晚值班,每

名员工值一个夜班且不重复值班,其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班,男员工乙不能安排在星

期二值班,其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班,则这个单位安排夜晚值班的方案共有(   

)

A. 960 种               B. 984 种           C. 1080 种             D. 1440 种

                                   第Ⅱ卷      非选择题
二、填空题(每题           5 分,满分     20 分,将答案填在答题纸上)

13.若某一射手射击所得环数           X 的分布列如下:

    X     4       5       6        7       8       9         10

    P     0.02    0.04    0.06     0.09    0.28    0.29      0.22

则此射手“射击一次命中环数             X<7  ”的概率是         .

14.从包括甲乙两人的        6 名学生中选出      3 人作为代表,记事件         A :甲被选为代表,事件         B :乙没有被选为代

表,则    P(B│A)  等于         .

                  5                        2   L          6     2
15.设  (2  x)(2x 1)  a0  a1 (x 1)  a2 (x 1)   a6 (x 1) ,则 a 等于         .

16.已知空间整数点的序列如下:(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2),

(2,1,2),(2,2,1),(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2)…,则(4,2,1)是这个序列中的第            

个.

三、解答题 (本大题共             6 小题,共     70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 

17.在直角坐标系      xOy 中,以坐标原点为极点,           x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线                C 的极坐标方程
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                                        x  3  t
                                        
是    2sin  2cos ,直线   l 的参数方程是     y  4  2t ( t 为参数, t  R )

(1)求曲线   C 和直线    l 的普通方程;

                                     AB
(2)设直线   l 和曲线   C 交于  A、B  两点,求        的值.

            f (x)  x  a  x 1  2a
18.已知函数                            .

(1)若  f (2)  0 ,求实数  a 的取值范围;

(2)若存在    x  R 使得不等式    f (x)<0 成立,求实数     a 的取值范围.

19.某种产品的以往各年的宣传费用支出                x (万元)与销售量       t (万件)之间有如下对应数据


                 x        2       4        5       6       8

                  t       4       3        6       7       8

(1)试求回归直线方程;

(2)设该产品的单件售价与单件生产成本的差为                   y (元),若     y 与销售量   t (万件)的函数关系是
       1      1   103
 y        t 2     (0<t<30)
     32000     t  80           ,试估计宣传费用支出          x 为多少万元时,销售该产品的利润最大?
(注:销售利润=销售额-生产成本-宣传费用)

                                                 n
                                                  xi yi  nxy
                                                 i1
                   5            5            b   n
                      2                              2    2
                    xi 145     x iti 156       xi  nx
(参考数据与公式:          i1       ,  i1        ,     t1        )

20.某校选择高一年级三个班进行为期二年的教学改革试验,为此需要为这三个班各购买某种设备                                        1 台.经

市场调研,该种设备有甲乙两型产品,甲型价格是                      3000 元/台,乙型价格是       2000 元/台,这两型产品使用

                                                  1                                  2
寿命都至少是一年,甲型产品使用寿命低于                   2 年的概率是     4 ,乙型产品使用寿命低于          2 年的概率是     3 .若

某班设备在试验期内使用寿命到期,则需要再购买乙型产品更换.

(1)若该校购买甲型       2 台,乙型    1 台,求试验期内购买该种设备总费用恰好是                  10000 元的概率;

(2)该校有购买该种设备的两种方案,               A 方案:购买甲型       3 台;  B 方案:购买甲型       2 台乙型  1 台.若根据

2 年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案,你认为该校应该选择哪种方案?

                 2       n     0 2n   1 2n1     2 2n2 L     2n1    2n                0
21.定义:在等式      (x   x 1)  Dn x   Dn x    Dn x        Dn  x  Dn  (n  N) 中,把   Dn ,
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   1    2        2n
 Dn , Dn ,…,   Dn  叫做三项式的      n 次系数列(如三项式的        1 次系数列是     1,1,1).

(1)填空:三项式的       2 次系数列是               ;

三项式的     3 次系数列是               ;

                                            k     k    k 1
(2)由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质                    Cn1  Cn  Cn ,类似的请用三项式        n 次系数列中的系

         k 1
数表示    Dn1 (1  k  2n 1,k  N) (无须证明);

        3
(3)求  D6 的值.

                      1
            f (x)  x   a1nx(a  R)
22.已知函数               x             .

(1)讨论函数     f (x) 的单调性;

          5 17
      a [ ,   ]
(2)当      2  4  时,记  f (x) 的极大值为    M ,极小值为    N  ,求 M   N 的取值范围.

                              高二数学(理科)参考答案

一.选择题:本大题共          12 小题,每小题      5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的.

              5i
          z       2  i
1.解析:        1 2i        

答案:A

2.解析:     P(  2)  0.2  P(0    2)  2P(1   2)  0.6  

答案:C

3.解析 ∵a+21=63,∴a=42.

又  a+22=b,∴b=64.

答案 B

                                         2
4.解析:当     n  k 时,等式左端     1  2   k ,当  n  k 1时,等式左端[来源:Z_xx_k.Com]

                                                                             2
             2   2      2               2          k 2 1  k 2  2   k 1
 1 2   k   k 1 k   2  (k 1) ,增加了项                           .答案:D
5.解析 ①认为数学成绩与物理成绩有关,不出错的概率是                         99%,不是数学成绩优秀,物理成绩就有

99%的可能优秀;对于④,随机变             量 K2 的观测值    k 越 小,说明两个相关变量有关系的把握程度越小,
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

②③正确.

答案 B

6.解析:画图得三个交点分别为              (1,0),(1,2),(2,1) ,

               2 2                1
           S   (   x 1)  2ln 2 
所以面积为         1 x                2  

答案:D

                2        1       1     1            1     2  2          1            5
          a  b  ,b  a   a   ,b      EX 2  0 1      ,(EX )2        DX  
7.解析:           3        3       6     2 ,          3     3  3          9 ,所以        9  

答案:D

8.解析:实验女排要获胜必须赢得其中两局,可以是                       1,2 局,也可以是     1,3 局,也可以是      2,3 局.故获

                2    2  1   2  1  2  2   20
            P  ( )2             
胜的概率为:          3    3   3  3  3  3  3   27 ,故选  B.

答案:B

9.解析:以极点为坐标原点,极轴为                x 轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意,得圆                   C 的直角坐标方

                                               x2  y2  4x  0     x  0  x  2
    2   2                                                                  
程  x  y  4x  0 ,直线  l 的直角坐标方程      y  x .由 y  x          ,解得   y  0 或 y  2 ,所以

 A 0,,0, B  2 2                                       x 1 2  y 1 2  2
            ,从而以    AB 为直径的圆的直角坐标方程为                           ,即

  2   2                                  2  2 cos  sin  0
 x  y   2x  2y .将其化为极坐标方程为:                                ,即

                                
   2cos  sin  2 2 sin   
                               4  故选 A.

答案:A

10.解析: 由题意,令         x   3cos, y  sin ,

     2x  y  2 3cos  sin  13sin    4
所以                                          ,

     2x  y  4  4  2x  y
所以                       ,

     x  2y  3cos  2sin   7sin     3      3 x  2y  3 x  2y
因为                                         ,所以                        

     u  2x  y  4  3 x  2y  4  2x  y  x  2y  3  7  3 x  y
所以                                                           
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

       7  3 3cos  sin  7  6sin   600
                                         

所以1    u 13 ,故选   D.

答案:D

                             lnx                        lnx
             f x x2  2ex    a  0   a  x2  2ex   (x  0)
11.解析:令                       x       ,则                 x       ,


            2       lnx                               lnx
                                     2
   hx x   2ex        h  x   x  2ex   h2 x
设                    x ,令   1            ,           x ,

          1 lnx
   h ' x 
    2      2             h  x ,h  x    0,e                    e,
∴           x    ,发现函数     1   2  在    上 都是单调递增,在            上都是单调递减,


                2       lnx
       hx x   2ex       0,e                e,
∴函数                      x 在    上单调递增,在           上单调递减,故当        x  e 时, 得
              1
 h x     e2 
   max
              e ,

                                                    2  1
       f x                       a  h x        a  e 
∴函数       至少存在一个零点需满足                max ,即        e .

答案:D

                        2 2 4                      2 1 1 3
12.解析:甲乙都不选:          C4 C3 A4  432 ,选甲不选乙:     C4 C3 A2 A3  216  

                    1 2 1 3                    1 1 1 1 2
      选乙不选甲:      C4C3 A3 A3  216 ,甲乙都选:    C4C3 A2 A2 A2  96  

     共  960 种

答案:A

二.填空题:本大题共          4 小题,每小题      5 分.

13.解析:     P(X  7)  0.02  0.04  0.06  0.12  

答案:    0.12  

                   2               2
                 C5   1          C4    3                 3
           P(A)   3   , P(AB)   3          P(B | A) 
14.解析:           C6    2         C6   10 ,所以             5 。

       3
答案:    5

                                   5             2       6
15.解析:设      x 1  t ,则 (1 t)(2t 1)  a0  a1t  a2t   a6t ,
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     2    2   2    1
则  a2t  C5 (2t)  tC5 (2t)  a2  30 .

答案:    30

16.解析:规律:三个数字和相等的先看最小数字,再看第二小的数字;相同数字组成的点,先看最小数

字排的位置,再       看第二小的数字排的位置。

三个数字和为      3 的 1 个,三个数字和为        4 的 3 个,三个数字之和为        6 的是  3+6+1=10 个,三个数字和为       7,

由1,1,5 组成的共    3 个,由1,2,4   三个数字组成的共        6 个,所以   (4,2,1) 是第 29 个。

答案:    29  

三.解答题:满分         70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

                                           2
17.解:(1)曲线       C 的极坐标方程可以化         为:     2 sin  2 cos ,

                          2   2                 2       2
所以曲线     C 的普通方程是:       x  y  2y  2x 即 (x 1)  (y 1)  2 ,

直线   l 的普通方程是     y  4  2(x  3) ,即 2x  y  2  0 ;

                                | 2 11|   5
                             d          
(2)圆心     (1,1) 到直线 l 的距离是         4 1     5 ,

                 1  6  5
     | AB | 2 2  
所以               5    5  .

18.解:(1)      f (2)  0 | a  2 | 2a 1 0 ,

   a  2             a  2
                     
即  a  2  2a 1 0  或 2  a  2a 1 0

解得:    a  2 或 3  a  2 ,所以 a [3,) ; 

(2)存在     x  R 使得不等式    f (x)  0 成立,即  f (x)min  0

又  f (x) | a | 2a 1 ,所以| a | 2a 1 0 ,解得 a  1  ,

所以实数     a 的取值范围是     (,1) .

 19.解:(1)      x  5,t  5.6 ,设回归直线方程为:      t  bx  a ,
     156  555.6
  b            2   0.8
       145  55        , a  5.6  0.85 1.6 ,
                      中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

所以回归直线方程为       t  0.8x 1.6 ;

                   1      1  103
            u  (     t 2    )t  x
(2)销售利润          32000    t  80     (万元)
       1        103   t 1.6    1       3
 u       t3 1  t             t3  t 1
     32000       80    0.8    32000    80    ,

                           2
          3   2  3    3   t
  u ' |t   t       (    1)
        32000   80    80 400    ,

由 u '  0  t  20 ,且 t (0,20) 时, u '  0 , t (20,30) 时, u '  0 ,

所以当   t  20 时, u 最大,这时  x 的估计值为   23,

所以估计宣传费用为        23万元时,销售    该产品的利润最大。

20.解:(1)总费用为       10000 元,说明试验期内恰好有        1 台设备使用寿命到期,概率为:

     1 1 3  1   3 2 2   1
 P  C2      ( )  
       4 4  3   4   3   2 ;
(2)若选择     A 方案,记试验期内更换该种设备台数为            X ,总费用为Y     元,则
        1            3
 X ~ B(3, )     EX 
        4 ,所以        4 ,又Y   9000  2000X ,所以 EY  9000  2000EX 10500 ;

若选择   B 方案,记试验期内更换该种设备台数为             ,总费用   元,则

          3 2  1   9           24            1 2  1   1 1 3  2  13
 P(  0)  ( )      P( 1)     P(  2)  ( )   C2    
          4    3  48 ,         48 ,          4    3    4  4  3  48 ,
          1    2   2
 P(  3)  ( )2  
          4    3  48 ,
         0  24  26  6 7
    E              
所以            48       6 ,

                                         31000
                      E  8000  2000E 
又   8000  2000 ,所以                     3

           31000
    10500 
因为           3   ,所以选择    B 方案.

 21.解:(1)三项式的       2 次系数列是1,2,3,2,1;

三项式的    3 次系数列是1,3,6,7,6,3,1;

       k 1 k 1  k   k 1
(2)  Dn1  Dn  Dn  Dn (1 k  2n 1,k  N) ;
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       3      2     6        9             3   4 1   3 3
(3)  D6 表示  (x  x 1) 展开式中 x 的系数,所以     D6  C6 C2  C6 C3  50 .

                                            x2  ax 1
                                      f '(x)   2
22.解:(1)函数      f (x) 的定义域为  (0,)  ,         x     ,

               2
(一)   a  2 时, x 1 ax  2x  ax  0 恒成立,即 f '(x)  0  恒成立, f (x) 在区间 (0,) 上单调递

                                       a  a2  4    a  a2  4
                                   x1          , x2 
增;(二)     a  2 时, f '(x)  0  有两根,记       2             2    ,则  0  x1  x2 ,

   x  0    x  0
            
              x2  ax 1  0
由   f '(x)  0 得        ,解得  0  x  x1 或 x  x2  ,

所以递增区间是      (0, x1),(x2 ,) ,递减区间是 (x1, x2 ) .

           5 17
       a [ ,  ]
(2)当       2 4  时,由(1   )得  M  f (x1), N  f (x2 ) ,

               1             1
    M   N  x   a ln x  x   a ln x
             1         1  2          2   x  x  a, x  x 1
所以             x1            x2      ,又   1   2    1  2  ,

所以

            1       1       1         1             1        1
 M  N  x1   (x1  )ln x1   x1  (x1  )ln x1  2(x1  )  2(x1  )ln x1
            x1     x1      x1         x1            x1       x1     ,

            1      1                   1       1          1 1
   g(t)  2(t  )  2(t  )ln t g '(t)  2(1 2 )  2(1 2 )ln t  2(t  )
记           t       t    ,则            t       t          t t ,

          1
   g '(t)  2( 2 1)ln t
即         t       ,所以当   t (0,1) 时, g '(t)  0 ,即 g(t) 在 t (0,1) 时单调递减,

      a  a2  4      2
   x                             5 17
   1                   2       a [ ,  ]
由         2       a  a  4 ,当     2 4  时,  x1 递减,

      5        1     17        1       1     1        1           1
   a      x1    a        x1          x1       g(  )  g(x1)  g( )
又     2 时,     2 ,    4 时,     4 ,所以   4     2 ,所以    2           4  ,

                                   15
                     [5ln 2  3,17ln 2  ]
所以  M   N 的取值范围是                   2 . 
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                              高二数学(理科)参考答案

一.选择题:本大题共          12 小题,每小题      5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

    的.
              5i
1.解析:     z       2  i  
             1 2i
答案:A

2.解析:     P(  2)  0.2  P(0    2)  2P(1   2)  0.6  

答案:C


3.解析 ∵a+21=63,∴a=42.

又  a+22=b,∴b=64.

答案 B

                                         2
4.解析:当     n  k 时,等式左端     1  2   k ,当  n  k 1时,等式左端[来源:Z_xx_k.Com]

             2   2      2               2            2       2               2
 1 2   k   k 1 k   2  (k 1) ,增加了项    k  1 k  2   k 1 .[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

答案:D
5.解析 ①认为数学成绩与物理成绩有关,不出错的概率是                         99%,不是数学成绩优秀,物理成绩就有
99%的可能优秀;对于④,随机变             量 K2 的观测值    k 越 小,说明两个相关变量有关系的把握程度越小,
②③正确.
答案 B

6.解析:画图得三个交点分别为              (1,0),(1,2),(2,1) ,

               2 2                1
所以面积为      S   (   x 1)  2ln 2   
              1 x                2
答案:D
                2        1       1     1            1     2  2          1            5
7.解析:     a  b  ,b  a   a   ,b   ,  EX 2  0 1      ,(EX )2  ,所以   DX      
                3        3       6     2            3     3  3          9            9
答案:D

8.解析:实验女排要获胜必须赢得其中两局,可以是                       1,2 局,也可以是     1,3 局,也可以是      2,3 局.故获
                2    2  1   2  1  2  2   20
胜的概率为:      P  ( )2                 ,故选  B.
                3    3   3  3  3  3  3   27
答案:B

9.解析:以极点为坐标原点,极轴为                x 轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意,得圆                   C 的直角坐标方
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                                                  2   2
    2   2                                      x   y  4x  0      x  0  x  2
程  x  y  4x  0 ,直线  l 的直角坐标方程      y  x .由                ,解得        或      ,所以
                                               y  x                y  0  y  2

 A0,,0, B2 2,从而以    AB 为直径的圆的直角坐标方程为             x 12  y 12  2 ,即

 x2  y2  2x  2y .将其化为极坐标方程为:          2  2 cos  sin  0 ,即

                                
   2cos  sin  2 2 sin    故选 A.
                               4 

答案:A

10.解析: 由题意,令         x   3cos, y  sin ,

所以   2x  y  2 3cos  sin  13sin    4 ,

所以   2x  y  4  4  2x  y ,

因为   x  2y  3cos  2sin   7sin     3 ,所以 3 x  2y  3 x  2y  

所以   u  2x  y  4  3 x  2y  4  2x  y  x  2y  3  7  3x  y

       7  3 3cos  sin  7  6sin   600 


所以1    u 13 ,故选   D.[来源:学科网]

答案:D
                             lnx                        lnx
11.解析:令      f x x2  2ex    a  0 ,则 a  x2  2ex  (x  0) ,
                              x                          x
                    lnx                               lnx
设  hx x2  2ex    ,令  h x x2  2ex , h x     ,
                     x      1                  2       x

    '     1 lnx
∴  h x        ,发现函数     h1 x,h2 x在 0,e上 都是单调递增,在e,上都是单调递减,
    2       x2
                        lnx
∴函数    hx x2  2ex    在 0,e上单调递增,在e,上单调递减,故当               x  e 时, 得
                         x
              1
 hx    e2   ,
     max      e
                                                       1
∴函数    f x至少存在一个零点需满足          a  hx   ,即  a  e2  .
                                         max           e
答案:D

                        2 2 4                      2 1 1 3
12.解析:甲乙都不选:          C4 C3 A4  432 ,选甲不选乙:     C4 C3 A2 A3  216  

                    1 2 1 3                    1 1 1 1 2
      选乙不选甲:      C4C3 A3 A3  216 ,甲乙都选:    C4C3 A2 A2 A2  96  
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


     共  960 种[来源:Zxxk.Com]

答案:A


二.填空题:本大题共          4 小题,每小题      5 分.[来源:学§科§网]
13.解析:     P(X  7)  0.02  0.04  0.06  0.12  

答案:    0.12  

                 C 2  1          C 2   3                 3
  .解析:             5               4     ,所以              。
14         P(A)   3   , P(AB)   3          P(B | A) 
                 C6    2         C6   10                 5
       3
答案:
       5

                                   5             2        6
15.解析:设      x 1  t ,则 (1 t)(2t 1)  a0  a1t  a2t  a6t ,

     2    2   2    1
则  a2t  C5 (2t)  tC5 (2t)  a2  30 .

答案:    30

16.解析:规律:三个数字和相等的先看最小数字,再看第二小的数字;相同数字组成的点,先看最小数

字排的位置,再       看第二小的数字排的位置。

三个数字和为      3 的 1 个,三个数字和为        4 的 3 个,三个数字之和为        6 的是  3+6+1=10 个,三个数字和为       7,

由1,1,5 组成的共    3 个,由1,2,4   三个数字组成的共        6 个,所以   (4,2,1) 是第 29 个。

答案:    29  

三.解答题:满分         70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解:(1)曲线       C 的极坐标方程可以化         为:   2  2 sin  2 cos ,

所以曲线     C 的普通方程是:       x2  y2  2y  2x 即 (x 1)2  (y 1)2  2 ,………3 分

直线   l 的普通方程是     y  4  2(x  3) ,即 2x  y  2  0 ;…………………………5      分

                                | 2 11|   5
(2)圆心     (1,1) 到直线 l 的距离是   d              ,…………………………7           分
                                   4 1     5

                 1  6  5
所以|   AB | 2 2        .………    ………………………………………………10                 分
                 5    5

18.解:(1)      f (2)  0 | a  2 | 2a 1 0 ,

   a  2             a  2
即                  或                 …………………………………………2               分
   a  2  2a 1 0  2  a  2a 1 0
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解得:    a  2 或 3  a  2 ,所以 a [3,) ;………………………………………6               分


(2)存在     x  R 使得不等式    f (x)  0 成立,即  f (x)min  0  …………………………8      分

又  f (x) | a | 2a 1 ,所以| a | 2a 1 0 ,解得 a  1  ,

所以实数     a 的取值范围是     (,1) . ……………………………………………                ………12   分

19.解:(1)      x  5,t  5.6 ,设回归直线方程为:      t  bx  a ,…………………2      分
    156  555.6
 b                0.8, a  5.6  0.85 1.6 ,
      145  552
所以回归直线方程为         t  0.8x 1.6 ;…………………………………………………5                 分
                     1       1  103
(2)销售利润      u  (      t 2     )t  x (万元)
                   32000     t  80
        1         103   t 1.6      1       3
 u        t3 1    t              t3   t 1 ,………………………7         分
      32000        80     0.8     32000    80
          3       3     3   t 2
 u ' |     t 2       (    1) ,
   t   32000     80    80  400
由  u '  0  t  20 ,且 t (0,20) 时, u '  0 , t (20,30) 时, u '  0 ,

所以当    t  20 时, u 最大,这时    x 的估计值为    23,
所以估计宣传费用为         23万元时,销售       该产品的利润最大。…………………………12                  分

20.解:(1)总费用为         10000 元,说明试验期内恰好有           1 台设备使用寿命到期,概率为:
       1  3   1   3    2  1
 P  C1       ( )2     ;……………………………………………………5                    分
      2 4 4   3   4    3  2
(2)若选择      A 方案,记试验期内更换该种设备台数为                X ,总费用为Y      元,则
         1             3
 X ~ B(3, ) ,所以   EX    ,又Y    9000  2000X ,所以   EY   9000  2000EX 10500 ;
         4             4
……………………………………………………………………………………………8                                  分

若选择    B 方案,记试验期内更换该种设备台数为                ,总费用     元,则
            3   1    9             24             1    1     1  3   2  13
 P(  0)  ( )2     , P( 1)    ,  P(  2)  ( )2   C1         ,
            4   3   48             48             4    3    2 4 4   3  48
           1    2    2
 P(  3)  ( )2     ,
           4    3   48
          0  24  26  6 7
所以   E                  ,
               48        6
                                              31000
又   8000  2000 ,所以   E  8000  2000E         ………………………11        分
                                                3
            31000
因为10500          ,所以选择      B 方案.………………………………………………12                    分
               3
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21.解:(1)三项式的       2 次系数列是1,2,3,2,1; …………………………2        分

          三项式的   3 次系数列是1,3,6,7,6,3,1;…………………………5          分

       k 1 k 1  k   k 1
(2)  Dn1  Dn  Dn  Dn (1 k  2n 1,k  N) ;………………………8   分

       3      2     6        9             3   4 1   3 3
(3)  D6 表示  (x  x 1) 展开式中 x 的系数,所以     D6  C6 C2  C6 C3  50 .

…………………………………………………………………                   ……………12    分

                                            x2  ax 1
22.解:(1)函数      f (x) 的定义域为  (0,)  , f '(x)       ,
                                               x2

(一)   a  2 时, x2 1 ax  2x  ax  0 恒成立,即 f '(x)  0  恒成立, f (x) 在区间 (0,) 上单调递

增;……………………………………………………………3                    分

                                   a   a2  4   a   a2  4
(二)   a  2 时, f '(x)  0  有两根,记 x          , x          ,则  0  x  x ,
                                 1     2       2     2             1  2

   x  0    x  0
由          得              ,解得          或       ,
             2               0  x  x1 x  x2
    f '(x)  0 x  ax 1  0


所以递增区间是      (0, x1),(x2 ,) ,递减区间是 (x1, x2 ) .…………………………6   分
           5 17
(2)当   a [ ,  ] 时,由(1  )得  M  f (x ), N  f (x ) ,
           2 4                     1        2
               1             1
所以  M   N  x1   a ln x1  x2   a ln x2 ,又 x1  x2  a, x1  x2 1,
               x1            x2

所以

            1       1       1         1             1        1
 M  N  x1   (x1  )ln x1   x1  (x1  )ln x1  2(x1  )  2(x1  )ln x1  ,
            x1     x1      x1         x1            x1       x1

………………………………………………………………………………………8                          分
            1      1                   1       1          1 1
记  g(t)  2(t  )  2(t  )ln t  ,则 g '(t)  2(1 )  2(1 )ln t  2(t  ) ,
            t       t                  t 2     t 2        t t
          1
即  g '(t)  2( 1)ln t ,所以当 t (0,1) 时, g '(t)  0 ,即 g(t) 在 t (0,1) 时单调递减,
          t 2
      a  a2  4      2            5 17
由  x1                    ,当  a [ ,  ] 时, x1 递减,……………10    分
          2       a  a2  4       2 4
      5        1     17        1       1     1        1           1
又  a  时,  x   , a    时,  x   ,所以     x   ,所以  g(  )  g(x )  g( ) ,
      2     1  2      4     1  4       4   1 2        2      1    4
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所以    M   N  的取值范围是[5ln          2  3,17ln  2     ] .………………………………12                    分
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