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【全国校级联考Word】浙江省温州市“十五校联合体”2016-2017学年高二下学期期末联考数学试题

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                2016  学年第二学期温州十五校联合体期末联考
                               高二年级数学学科试题

一、选择题:本大题共             10 个小题,每小题        4 分,共   40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.

1.已知集合     A  {x | ex 1}, B  {x | ln x  0},则 A B  (   )

A.  (,1]          B. (0,1]      C.[1,e]       D. (0,e]
                  2  3i
2.在复平面内,复数               ( i 是虚数单位)所对应的点位于(               )
                   3 4i
A.第一象限         B.第二象限       C.第三象限       D.第四象限

                        x2   y2             1
3.已知焦点在      x 轴上的椭圆           1的离心率为       ,则  m   (    )
                        m    3              2

A.  6       B.    6        C.4        D. 2

4.某几何体的三视图如图所示(单位:                cm ),则该几何体的表面积是(    )


    4  3            5           9   3
A.                B.          C.               D.5
      6              6             2

5.已知   (1 ax)6 112x  bx2  a6 x6 ,则实数  b 的值为(       )

A. 15        B.20       C. 40        D.60


6.已知直线    l1 : mx  (m 1)y  2  0 , l2 : (m 1)x  (m  4)y  3  0 ,则“ m  2 ”是“ l1  l2 ”的(    

)

A.充分不必要条件         B.必要不充分条件       

C.充要条件                D.既不充分也不必要条件
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                                                               S
7.已知{a   }是等差数列,其公差为非零常数              d ,前  n 项和为   S ,设数列{     n } 的前 n 项和为T    ,当且仅当
         n                                           n          n              n
                        a
 n  6 时,T  有最大值,则       1 的取值范围是(           )
           n            d
          5                                    5                          5
A.  (,  )          B. (3,)        C. (3, )          D. (,3)  ( ,)
          2                                    2                          2
                   x  y  2  0
                   
8. x, y 满足约束条件     x  2y  2  0 ,若 z  y  ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数            a 的值为(   
                   
                   2x  y  2  0

)
    1                     1
A.    或 1         B.2 或           C. 2 或 1        D.2 或-1
    2                     2
                                                                
9.已知函数     f (x)  asin x  bcos x ( a,b 为常数, a  0 , x  R )在 x  处取得最小值,则函数
                                                                4
          3
 g(x)  f (   x) 是(    )
          4
A.偶函数且它的图像关于点            ( ,0) 对称         

B.奇函数且它的图像关于点            ( ,0) 对称       
                          3
C. 奇函数且它的图像关于点           (   ,0) 对称        
                           2
                          3
D.偶函数且它的图像关于点            (   ,0) 对称
                           2

10.已知   a,b,c (0,) 且 a  b  c , a  b  c 12 , ab  bc  ca  45 ,则 a 的最小值为(     )

A. 5        B.  10     C.15         D.20

二、填空题(本大题共             7 小题,多空题每题          6 分,单空题每题         4 分,满分     36 分,将答案填在
答题纸上)

11. ABC  中,内角    A, B,C 所对的边分别为       a,b,c ,且 b2  ac  a2  c2 ,则 B 的大小为          .

                                           x2  y2
12.过点   M (0,1) 且斜率为   1 的直线  l 与双曲线   C :       1(a  0,b  0) 的两渐近线交于点      A, B ,且
                                          a2   b2
   
 BM   2AM  ,则直线    l 的方程为          ;如果双曲线的焦距为            2  10 ,则  b 的值为            .


13.王先生家住      A 小区,他工作在      B 科技园区,从家开车到公司上班路上有                 L1, L2 两条路线(如图),
                                                     1
 L 路线上有    A , A , A 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为                ;  L 路线上有    B , B 两个路口,各路口遇
  1         1  2  3                                  2    2         1  2
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                  3  3
到红灯的概率依次为           ,  ,若走   L 路线,王先生最多遇到          1 次红灯的概率为          ;若走         L 路线,
                  4  5        1                                                    2
王先生遇到红灯次数         X  的数学期望为          .


14.用数字    1、2、3、4、5    构成数字不重复的五位数,要求数字               1,3 不相邻,数字      2,5 相邻,则这样的五

位数的个数是          .(用数字作答)
                                               
15.已知坐标平面上的凸四边形            ABCD  满足   AC  (1, 3) , BD  ( 3,1) ,则凸四边形     ABCD  的面积为          
    
;  AB CD  的取值范围是          .

                x                                        x3  ax2  2ax
16.函数   f (x)     的对称中心为          ,如果函数          g(x)              (x  1) 的图像经过四个
              x 1                                           x 1

象限,则实数      a 的取值范围是          .
                                                                           
17.在正四面体      P  ABC 中,点   M  是棱  PC 的中点,点     N  是线段   AB 上一动点,且      AN    AB ,设异面
                             1      2
直线   NM  与 AC  所成角为     ,当        时,则   cos 的取值范围是          .
                             3      3
三、解答题 (本大题共             5 小题,共     74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 

18. 已知函数     f (x)  2sin2 x  2sinx cosx 1(  0) 的周期为 .

(1)求    的值;
                     
(2)求函数      f (x) 在[ ,  ]上的值域.
                   6  4

19. 已知菱形     ABCD  中,对角线     AC 与  BD 相交于一点     O , A   60 ,将 BDC  沿着   BD 折起得

 BDC  ' ,连接  AC ' .


(1)求证:平面        AOC '  平面 ABD  ;
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(2)若点    C ' 在平面  ABD  上的投影恰好是       ABD  的重心,求直线       CD 与底面    ADC ' 所成角的正弦值.

20. 已知函数     f (x)  x  ln x  2 .

(1)求函数      f (x) 的最小值;

(2)如果不等式       x ln x  (1 k)x  k  0 (k  Z) 在区间 (1,) 上恒成立,求  k 的最大值.

                         2                                                            
21. 如图,已知抛物线        C1 : y  2 px( p  0) ,直线 l 与抛物线  C 相交于   A, B 两点,且当倾斜角为        60 的直
                                     1
线  l 经过抛物线    C 的焦点   F 时,有|   AB |  .
               1                     3


(1)    求抛物线    C 的方程;
                            1
(2)已知圆     C  : (x 1)2  y2  ,是否存在倾斜角不为         90 的直线  l ,使得线段     AB 被圆  C 截成三等分?
             2              16                                                 2
若存在,求出直线        l 的方程;若不存在,请说明理由.

                                                           2
22.已知数列{an},{bn}满足        a1  2 , b1  4 ,且 2bn  an  an1 , an1  bnbn1 .


(1)求    a2 ,a3 ,a4 及 b2 ,b3 ,b4 ;


(2)猜想{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;

                            a   a      a       b  a             1
(3)证明:对所有的         n  N * , 1  3   2n1   n   n   2 sin         .
                            b1  b3     b2n1   bn  an
                                                               2  bn 1


                                         试卷答案
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

一、选择题

1-5: ABCCD      6-10:ACDBA    
二、填空题
                                   1  27
11.         12.  y  x 1, 1     13. ,            14. 24          15. 2,[2,0)           
     3                              2  20
             1            5  19 7  19
16. (1,1),( ,0)      17. [    ,    ]
             3              38    38

三、解答题
                                                 
18.(1)因为     f (x)  sin 2x  cos 2x  2 sin(2x  ) ,
                                                 4
且函数    f (x) 的最小正周期为      ,故   1;
                                                         
(2)因为     f (x)  2 sin(2x  ) ,当 x [  , ] 时,有  2x    [   , ],
                           4          6  4            4   12  4
                              3 1
故函数    f (x) 在[ ,  ]上的值域为[          ,1].
               6 4               2

19.(1)因为    C 'O  BD , AO   BD ,  C 'O  AO  O ,所以  BD  平面  C 'OA,又因为     BD  平面

 ABD  ,所以平面     AOC  '  平面 ABD ;

(2)方法一:设       C ' 在平面  ABD  上的投影为     H ,即  C 'H  平面  ABD ,

过点   H 作 HP  / /CD 交 AD 于点  P ,过点   H 作  HK   AD 于点  K ,

连结   C 'K ,并过  H 作  HQ  C 'K 于点  Q ,

因为   C 'H  平面 ABD  ,即  AD   C 'H ,且有  HK   AD  ,

 HK   C 'H  H ,所以  AD   平面  KC 'H ,即  AD   QH ,

又因为    HQ  C 'K ,且  AD  C 'K  K ,故 HQ   平面  ADC  ' ,

从而知    HPQ  是  PH 与底面    ADC ' 所成的角,

                                  a          6                      6
设  AB  a ,则在   RtHPQ  中有  PH     , HQ      a ,所以   sin HPQ      ,故  PH  与底面
                                  3          9                     3

                        6                                     6
 ADC  ' 所成角的正弦值为         ,即   CD 与底面   ADC  ' 所成角的正弦值为          .
                       3                                      3
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(2)方法二:如图建系        O  xyz ,


                  3            1           1           3     3
令  AB  a ,则知 A(   a,0,0) , B(0, a,0) , D(0, a,0) , C ' ( a,0, a) ,
                 2             2           2          6     6

       3   1                                 2
即 CD   AB  (  a, a,0) ,平面  ADC ' 的法向量为   m  (1, 3, ) ,
               2   2                                  2

                                6
故 CD  与底面  ADC ' 所成角的正弦值为        .
                               3
                                      x 1
20.(1)函数的定义域为       (0,) ,因为  f ' (x)  ,所以当   x (0,1) 时, f ' (x)  0 ,函数 f (x) 单调
                                       x
递减;当    x [1,) 时, f ' (x)  0 ,函数 f (x) 单调递增.

因此,函数     f (x) 的最小值为  f (1)  1.
                                                       x ln x  x
(2)不等式    x ln x  (1 k)x  k  0 在区间 (1,) 上恒成立等价于 k      (x 1) ,令
                                                         x 1
       x ln x  x              f (x)
 g(x)        (x 1) ,则 g ' (x)   ,由于   x (1,) 时, f ' (x)  0 ,函数 f (x) 单调递增且
        x 1                 (x 1)2


 f (1)  1 0 ,所以函数 f (x) 有且只有一个零点    x0 ,因为  f (3) 1 ln 3  0 , f (4)  2  ln 4  0 ,所
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                                         '                                 '
以  x0 (3,4) ,因此,当  x (1, x0 ) 时, f (x)  0 , g (x)  0 ;当 x (x0 ,) 时, f (x)  0 , g (x)  0 ,


从而函数    g(x) 在 (1, x0 ) , (x0 ,) 上分别是减函数、增函数,


                   x0 (ln x0 1) x0 (x0 1)
因此  g(x)min  g(x0 )                 x0 ,
                     x0 1      x0 1
           x ln x  x
所以,由    k        (x 1) 得 k  x ,因此 k  Z ,且 x (3,4) ,所以 k   3 .
             x 1             0               0            max
                                                                     p
21.(1)当倾斜角为     60 的直线  l 经过抛物线   C 的焦点  F 时,直线    l 的方程为  y  3(x  ) ,
                                    1                                2
                     p
           y   3(x  )      2      3  2
∵联立方程组               2 ,即  3x  5px  p  0 ,
             2                      4
           y   2 px
        5p      1       1                       1
∴| AB |    p  ,即  p   ,∴抛物线    C 的方程是   y2   x ;
         3      3       8           1           4

(2)假设存在直线       l ,使得线段   AB 被圆 C2 截成三等分,令直线       l 交圆 C2 为 C, D ,设直线 l 的方程为


 x  my  b , A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,由题意知:线段 AB 与线段 CD 的中点重合且有|  AB | 3| CD | ,联立

         2
      4y   x        2
方程组            ,即 4y   my  b  0 ,
      x  my  b

          m          b          m2
∴  y  y   , y y    , x  x     2b ,
   1   2  4    1 2   4    1  2   4

                     m2    m                    m2    m
∴线段   AB 中点的坐标为     (   b, ) ,即线段   CD 的中点为   (    b, ) ,
                     8     8                    8     8

                     7   m2
∴  m2  8b  7  0 ,即 b   ,
                     8   8

                   m2      1
又∵|  AB | 1 m2      b   1 m2 14  m2 ,
                   16      4

           1  (1 b)2 3
 3| CD | 6            3 m2 (m2  3) ,
          16  1 m2   4

                                                       3 3  2
∴  m4  22m2 13  0 ,即 m2 11 6 3 ,∴ m   11 6 3 , b     ,
                                                          4

                              3 3  2
故直线   l 的方程为  x   11 6 3 y      .
                                4
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                       2
22.(1)因为 2bn  an  an1 , an1  bnbn1 ,且 a1  2,b1  4 ,

          8  2  a
令    ,得到         2 解得 a  6 , b 9 ;同理令  n  2,3分别解得由此可得     a  12 , b 16 ,
  n 1     2          2    2                          3      3 
          a2  4b2


a4  20 , b4  25;

                               2
(2)证明:猜测    an  n(n 1) , bn  (n 1) ,

用数学归纳法证明:①当      n 1时,由上可得结论成立.

                                          2
②假设当  n  k 时,结论成立,即   ak  k(k 1) , bk  (k 1) ,

                                2
那么当  n  k 1时, ak 1  2bk  ak  2(k 1)  k(k 1)  (k 1)(k  2) ,

     2
    ak 2     2
bk 1   (k  2) ,所以当 n  k 1时,结论也成立.
     bk

                            2
由①②,可知   an  n(n 1) , bn  (n 1) 对一切正整数都成立.

             a    n
(3)由(2)知,     n    ,
             bn  n 1

                  1 3  5    2n 1    1           1
于是所证明的不等式即为                         2 sin
                  2 4  6     2n    2n 1        2n 1

           1  3 5     2n 1    1
(ⅰ)先证明:                    (n 1,2,3)
           2  4 6      2n    2n 1

因为 4n2 1 4n2 ,所以 (2n 1)(2n 1)  n2 ,从而 (2n 1)2 (2n 1)  4n2 (2n 1) ,

  2n 1  2n 1     1 3  5    2n 1  1   3   5      2n 1    1
即            ,所以                            
   2n    2n 1     2 4  6     2n     3  5   7      2n 1   2n 1

            1           1
(ⅱ)再证明           2 sin     (n 1,2,3)
           2n 1       2n 1
                                                    
设函数  f (x)  x  2 sin x , 0  x  ,则 f ' (x) 1 2 cos x , 0  x  .
                          4                          4
          
因为在区间   (0, ) 上 f ' (x) 1 2 cos x 为增函数,
          4
                                     
所以当  0  x  时, f ' (x) 1 2 cos x 1 2 cos  0 ,
          4                            4
                        
从而 f (x)  x  2 sin x 在区间 (0, ) 上为单调递减函数,
                         4
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                                                             1   
因此 f (x)  x  2 sin x  f (0)  0 对于一切 0  x  都成立,因为当 n N * 时,  ,
                                     4                      2n 1 4

      1           1
所以         2 sin     (n 1,2,3)
    2n 1        2n 1

                        a   a     a     b  a          1
综上所述,对所有的     n N * ,均有 1  3  2n1  n n  2 sin       成立.
                        b1  b3    b2n1 bn  an
                                                     2 bn 1
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