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【全国百强校Word】安徽省阜阳市临泉县第一中学2016-2017学年高一下学期学科竞赛文数试题

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   安徽省阜阳市临泉县第一中学                          2016-2017     学年高一下学期学科竞赛
                                   数学(文)试题

                                    第Ⅰ卷(共       60 分)
一、选择题:本大题共             12 个小题,每小题        5 分,共   60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.

1.一中学有     90 个班,每班    60 人,若每班选派       3 人参加“学代会”,则在这个问题中,样本容量是(   )

A.90         B.60       C.270       D.180

2.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶                5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则 (   )


A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数         

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数       

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差       

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)


已知甲组数据的中位数为           15,乙组数据的平均数为          16.8,则  x, y 的值分别为 (   )

A.8,8        B.5,8       C. 5,5        D.2,5

4.有一个容量为       200 的样本,其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落

在区间10,12内的频数为 (   )
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A.18         B.36       C.54        D. 72
                                   x        1
5.在区间1,1上随机取一个数         x , cos   的值介于      到 1 之间的概率为 (   )
                                   2         2
    1             2          1             2
A.            B.          C.            D.
    3                       2             3

6. 要得到函数      f x cos 2x 的图象,只需将函数      g x sin 2x 的图象(   )

                                          
A.向左平移       个单位长度         B.向右平移            个单位长度       
            4                              4
                                          
C. 向左平移      个单位长度         D.向右平移            个单位长度
            2                              2
7. 按如下程序框图,若输出结果为              S 170 ,则判断框内应补充的条件为(   )


A.  i  5          B. i  5        C. i  7         D. i  7
                                                                       
8.已知圆    O 的半径为    2,圆  O 的一条弦    AB 的长是   3, P 是圆  O 上的任意一点,则        AB  AP 的最大值为 (   )
                           21             23
A.9         B.10       C.             D.
                            2             2
                                                      5     5 
9.定义运算     a *b 为执行如图所示的程序框图输出的             S 值,则   sin   *cos  的值为 (   )
                                                      12     12 
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    2  3             1         3             2  3
A.                B.          C.           D.
      4               4         4               4
                                              
10.如图所示为函数        f x 2sin x     0,      的部分图象,其中 A, B 两点之间的距离为      5,那
                                       2       
么  f 1  (   )


A.   3          B.  3        C.1         D. 1
                                                    
11.已知直线     x  y  a 与圆 x2  y2  4 交于 A、B 两点,且 OA  OB  OA  OB ,其中  O 为原点,则实数

 a 的值为 (   )

A.2         B.  2        C.2 或 2          D. 6 或  6

                           7  
12.已知函数     y  4sin  2x   x  0,   的图象与直线 y  m 有三个交点的横坐标分别为
                      6      6  


 x1, x2 , x3 x1  x2  x3 ,那么 x1  2x2  x3 的值是 (   )

    3             4           5            3
A.              B.           C.           D.
    4              3            3             2
                                    第Ⅱ卷(共       90 分)
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二、填空题(每题           5 分,满分     20 分,将答案填在答题纸上)
                         
13.若向量    AB  1,2, BC  3,4,则 AC            .

14.从集合1,2,3,4的所有子集中任取一个集合,它含有                  2 个元素的概率为          .
                                  
15. a,b 的夹角为120   , a 1, b  3,则 5a  b            .

16.设当   x   时,函数   f x 2sin x  3cos x 取得最小值,则 tan            .

三、解答题 (本大题共             6 小题,共     70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 

17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问                          50 名职工,根据这       50 名职工对该部门
的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为40,50,50,60,,80,90,90,100


(1)求频率分布图中         a 的值,并估计该企业的职工对该部门评分不低于                    80 的概率;

(2)从评分在40,60的受访职工中,随机抽取                 2 人,求此   2 人评分都在50,60的概率..

 18.一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会有缺损,按不同转速生产出来的零件有缺损的统计

数据如表所示:


(1)作出散点图;

(2)如果     y 与 x 线性相关,求出回归直线方程.

(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为                         10 个,那么,机器的运转速度应控制在什么
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

范围内?


附:对于一组数据        x1, y1 ,x2 , y2 ,,xn , yn ,其回归直线 y  bx  a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为,


     n            n
      xi yi  nx y xi  xyi  y
 b  i1        i1            , a  y  bx
     n        2     n       2
       2
     xi  nx     xi  x
    i1             i1
19. 设函数    f x 2cos xcos x  3 sin xx  R.

(1)求函数      y  f x的最小正周期和单调递增区间;

             
(2)当    x  0,  时,求函数   f x的最大值.
            2 
                                 
20.在边长为     3 的正 ABC  中,设   BD  2DC,CE  2EA .

                       
(1)用向量      AB, AC 表示向量   AD ,并求   AD 的模;
         
(2)求    AD  BE 的值;
         
(3)求    AD 与 BE 的夹角的大小.
                                12            4       
21. 已知,    均为锐角,满足      sin   ,sin     ,求 cos . 
                                13            5       2
                                                                         3 
22. 已知函数     f x sin x     0,0     是 R 上的偶函数,其图象关于点   M    ,0 对称,且在区
                                                                         4  
      
间    ,0 上是单调函数,求       和  的值.
    2  
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                                         试卷答案
一、选择题

1-5: CCBBD      6-10: ADCBD     11、12:CA

二、填空题
                       3                              2
13. 2,6          14.            15. 7          16. 
                       8                              3
三、解答题
                                              
17.解:(1)     f x 2cos xcos x  3 sin x 2sin  x   1.
                                              6 
则函数    y  f x的最小正周期为.

                      
令  2k    2x   2k  k  Z ,
        2      6        2
                
∴  k    x  k  k  Z ,
       3          6
                                         
∴函数    y  f x的单调递增区间为       k  ,k  k  Z .
                                  3      6 
                         7               1 
(2)∵    x  0,  ,∴ 2x    ,   ,∴ sin  2x    ,1
            2         6   6 6            6    2 
18. 解:(1)由频率分布直方图知100.004             a  0.022  0.028  0.022  0.0181,

所以   a  0.006 .

该企业的职工对该部分评分不低于               80 的概率为100.022    0.018 0.4 .

(2)在40,60的受访职工人数为100.004           0.006 50  5 ,

                             3
此  2 人评分都在50,60的概率为          .
                             10
19. 解:(1)作散点图如图所示:


(2)由散点图可知         y 与 x 线性相关.故可设回归直线方程为            y  bx  a .

依题意,用计算器可算得:

               4          4
                             2     ,
 x 12.5, y  8.25, xi yi  438, xi  660
               i1        i1
                         中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

      438  412.58.25
∴  b                  0.73 ,
        660  412.52

 a  y  bx  8.25  0.7312.5  0.875 .

∴所求回归直线方程为          y  0.73x  0.875 .

(3)令    y 10 ,得 0.73x  0.875 10 ,

解得   x 15 ,

即机器的运转速度应控制在            15 转/秒内.
                 2   1  2 
20. 解:(1)     AD  AB  BD  AB  AC  AB   AB   AC ,
                                3         3     3
              1  9
又  AB  AC  AB  AC cos A  3 3 
                              2  2

     1  2  1  2 4   4  2 1 4  9  4
故  AD    AB   AC     AB    AB  AC  AC       32      32  7
         3    3       9       9        9        9      9  2  9

            1  
(2)同理     BE  AB  AC, BE   7
                    3
        1  2     1   1  2 5   2  2
所以   AD  BE   AB  AC   AB  AC    AB  AB  AC  AC
              3    3          3      3       9        9
    1  2 5   2  2
    AB    AB  AC  AC
    3      9         9
    1     5  9  2
    32      32
    3     9  2  9
    7
  
    2

                                 7
                       
             AD  BE           1       
(3)由    cos AD, BE     2     ,得  AD 与  BE 的夹角为120
                     AD BE     7  7   2

21. 解:        

∴  cos   cos       cos   cos  sin    sin ①

           
∵,   0,  ,
          2 
                    5
∴  cos  1 sin2  
                   13
        12            4
∵  sin   ,sin      sin
         13           5

∵     
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                                   
∴若     为锐角,则根据       y  sin x 在 0,  单调递增,可知   sin     sin ,与条件矛盾
                                   2 
            
∴      , 
          2  
               3                      3  5  12  4  33
∴  cos     ,代入①可得:     cos          
               5                      5  13  13 5  65
             33         49
∴  2cos2  1     cos2 
        2     65       2  65
                   
∵   0,     ∴   0,  
        2      2    4 
         7    7
∴  cos =     =    65
      2   65  65

22. 解:由    f x是偶函数,得     f x f x,即 sin x    sin x   ,

所以   cos sinx  cos sinx 对任意 x 都成立,又     0 ,

所以   cos  0 ,

                           
依题设    0     ,所以解得   
                            2
                                3        3  
由  f x的图象关于点     M 对称,得     f    x   f   x
                                4         4   
              3     3 
取  x  0 ,得 f     f   ,
              4      4 
       3 
所以   f     0
       4 
     3     3       3
∵  f     sin      cos   ,
     4       4   2      4
      3                 3  
∴  cos     0 ,又   0 ,得        k ,k  0,1,2,
       4                   4    2
      2
∴    2k 1,k  0,1,2,.
      3
               2          2         
当  k  0 时,   , f x sin  x   在  ,0 上是增函数;
               3          3   2    2  
                                   
当  k 1时,    2, f x sin  2x   在  ,0 上是增函数;
                             2    2  
              10                     
当  k  2 时,    , f x sin x   在  ,0 上不是单调函数.
               3              2     2  
                2
所以,综合得          或=2  .
                3
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