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【全国百强校Word】甘肃省高台县第一中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题

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                        高台一中         2017  年春学期期末考试
                                     高一数学试卷

                                    第Ⅰ卷(共       60 分)
一、选择题:本大题共             12 个小题,每小题        5 分,共   60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.

1.1920° 转化为弧度数为(    )
    16            32           16            32
A.             B.           C.   p        D.   p
    3              3           3             3
            æ    p ö
2.函数   y = tan ç2x + ÷的最小正周期为(    )
            è    4 ø
                              p           p
A.  2p          B.p        C.          D.
                              2           4
3.1337 与 382 的最大公约数是(    )

A.201         B.191       C.382        D.3
                               
4.在△ABC    中,  AB =(2,4) , AC =(1,3),则 CB =(    )

A.(3,7)         B.(3,5)         C.(1,1)          D.(- 1,- 1)
         æp    ö   3
5.已知   sin ç +a÷= - ,a  为第二象限角,则        sin(p +a) 的值为(    )
         è2    ø   5
    4             4         3              3
A.            B. -        C.           D. -
    5             5         5              5
6.下图是    2007 的全国少数民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最

高分和一个最低分后,所剩数据的方差为(    )


A.                        B.                     C.                      D.

7.下列关系式中正确的是(    )
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A.                        B.


C.                       D.


8.在               上随机取一个数                    ,则               的概率为(    )


A.                        B.                     C.                      D.


9.如图的程序框图,若输入的                         ,              ,则输出的                  (    )


A.2         B.3       C.7         D.14


10.将函数                 的图象向右平移                   个单位,得到函数                     的图象,则


              (    )
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A.                        B.                     C.                      D.


11.已知点                 在第三象限,则                   的可能区间是(    )


A.                        B.                     C.                      D.


12.              中,角                的对边分别是                   ,若               ,且


              ,              ,则               的面积为(    )


A.                        B.                     C.                      D.

                                    第Ⅱ卷(共       90 分)
二、填空题(每题           5 分,满分     20 分,将答案填在答题纸上)


13.设               ,向量                ,              ,              ,且                ,
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              ,则                         .

14.在  1,2,3,4   这四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是          .


15.已知函数                 的部分图象如图所示,则                        的函数解析式为          .


16.为了解学生答卷情况,某市教育部门在高三某次测试后抽取了                                       名同学的试卷进行调查,

并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图),该样本的中位数是          .


三、解答题 (本大题共             6 小题,共     70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 


17.“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查,统计出售价                                           元和销售量


              杯之间的一组数据如表所示:
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价格                 5                                                      7


销售量                12                10                 6                 4


通过分析,发现销售量                       对奶茶的价格                   具有线性相关关系.


(1)求销售量                 对奶茶的价格                   的回归直线方程;

(2)欲使销售量为       13 杯,则价格应定为多少?


注:在回归直线                    中,                ,              .


18.已知函数                 .


(1)求出函数的最大值及取得最大值时的                             的值;
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(2)求出函数在                  上的单调区间.


19.已知向量                 ,               的夹角为                 ,且               ,


              .


(1)求               与              的值;


(2)求               与              的夹角                .

20.某校对高二学段的男生进行体检,现将高二男生的休重(kg)数据进行整理后分成                                6 组,并绘制部分频


率分布直方图(如图所示),已知第三组                             的人数为    200.根据一般标准,高二男生体重超过


              属于偏胖,低于                    属于偏瘦,观察图形的信息,回答下列问题:
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(1)求体重在                 内的频率,并补全频率分布直方图;

(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取                 6 人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查,则各组应分别抽取

多少人?

(3)根据频率分布直方图,估计高二男生的体重的中位数与平均数.


21.              中,角                的对边分别是                   ,满足                .


(1)求角                的值;


(2)若               且              ,求               的取值范围.


22.已知                ,              ,              .


(1)求函数                 的最小正周期和对称轴;


(2)若               分别是                内角               所对的边,且                   ,
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,                   ,求                    .
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                        高台一中         2017  年春学期期末考试
                               高一数学试卷参考答案

一、选择题

1-5:DCBCB       6-10:BADCA      11、12:DA

二、填空题


13.                        14.                        15.                        16.


三、解答题


17.解:(1)                ,              .


              ,


              ,


              ,              .
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∴销售量                  对奶茶的价格                   的回归直线方程为                    .


(2)令               ,解得                .


答:商品的价格定为                      元.


18.解:(1)∵函数                  ,


根据                的性质得:


当               ,即               ,              时,


              取得最大值,最大值是          2,


综上所述,当                   ,               时,函数取得最大值是          2.
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(2)当               时,               ,


根据                的单调性得:当                    和              ,即               和


              时,               为增函数;


当               ,即               时,               为减函数,


综上所述,函数的单调递增区间是:                             和              ;


单调递减区间是                    .


19.解:(1)向量                 ,               的夹角为                 ,且


              ,
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∴                   ;


∴                   ;


又


                 ,


∴                   ;


(2)∵
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              ,


∴


              .


∴               与              的夹角为                 .


20.解:(1)体重在                  内的频率


              ,


              ,

补全的频率分布直方图如图所示:
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(2)设男生总人数为                    ,


由               ,可得                ,

体重超过     65kg 的总人数为


              .


在               的人数为                 ,应抽取的人数为                     ,


在               的人数为                 ,应抽取的人数为                     ,


在               的人数为                 ,应抽取的人数为                     .


所以在                 ,              ,              三段人数分别为       3,2,1.
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(3)中位数为    60kg;平均数为:                   (kg)


21.解:(1)在                中,


∵


              .

又因为
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∴                   ,


∴                   ,∴                    ,


∴                   或                   .


(2)∵                    ,∴                    ,


由正弦                      ,得


                 ,                   ,


故
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                 .


因为                    ,所以


                 ,                   ,


所以                    .


22.解:(1)
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              .


∴               的最小正周期为                    .


∴令                ,              ,解得:


              ,              ,


∴               的对称中心为:


              .


(2)∵               ,              ,


∴               ,
                               中国现代教育网         www.30edu.com    全国最大教师交流平台


∵                   ,


∴                   ,可得                      .


又∵                    ;


∴                   ,


∴                   ,


∵                   ,


∴                   .
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20.
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                        高台一中         2017  年春学期期末考试
                               高一数学试卷参考答案

一、选择题

1-5:DCBCB       6-10:BADCA      11、12:DA

二、填空题
                     1                        æ    p ö
13. 5 2           14.            15. f (x) = 28mç2x + ÷           16. 72.5
                     2                        è    6 ø
三、解答题
              5 +5.5 +6.5 +7      12 +10 +6 +4
17.解:(1)   x =            = 6 , y =          =8 .
                   4                   4

 4
                                     ,
 å xi yi = 5´ 12 +5.5´ 10 +6.5´ 6 +7´ 4 =182
 i=1

 4
    2   2    2    2  2      ,
 å xi = 5 +5.5 +6.5 +7 =146.5
 i=1
    182 - 4´ 6´ 8
 b =          = - 4 , a =8 +4´ 6 = 32 .
    146.5 - 4´ 62

∴销售量     y 对奶茶的价格     x 的回归直线方程为       y = - 4x +32 .

(2)令  - 4x +32 =13,解得 x = 4.75 .

答:商品的价格定为         4.75 元.
                          æ   p ö
18.解:(1)∵函数      f (x) = 2sin çx + ÷,
                          è   4 ø
根据   y = Asin(wx +j ) 的性质得:
     p   p             p
当  x + =   +2kp ,即  x =  +2kp , k Î Z 时,
      4  2             4
 f (x) 取得最大值,最大值是        2,
               p
综上所述,当       x = +2kp , k Î Z 时,函数取得最大值是         2.
                4
                     p   ép 9p ù
(2)当  x Î [0,2p] 时, x + Î ê , ú,
                     4   ëê4 4 ûú
                            p   ép p ù  é3p 9p ù       é p ù  é5p    ù
根据   y = sin x 的单调性得:当    x + Î ê , ú和  ê  ,  ú,即   x Î ê0, ú和 ê  ,2p ú时, f (x) 为增函数;
                            4   ëê4 2 ûú ëê 2 4 ûú     ëê 4 ûú ëê 4  ûú
     p   ép 3p ù       ép 5p ù
当  x + Î ê ,  ú,即   x Î ê , ú时,   f (x) 为减函数,
      4  ëê2 2 ûú      ëê4 4 ûú
                                é p ù  é5p    ù
综上所述,函数的单调递增区间是:                ê0, ú和 ê   ,2p ú;
                                ëê 4 ûú ëê 4  ûú
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              ép  5p ù
单调递减区间是       ê  ,  ú.
              ëê4 4 ûú
                 
19.解:(1)向量    a , b 的夹角为   60° ,且
     
 a =1, b = 2 ,

      2   2    2
∴(a  - b) = a - 2a×b +b =1- 2´ 1´ 2´ cos60° +4 = 3 ;
     
∴  a - b = 3 ;

       2    2    2
又(2a  - b) = 4a - 4a×b +b

 = 4´ 1- 4´ 1´ 2´ cos60° +4

 = 4 ,
      
∴  2a - b = 2 ;

              
(2)∵(b  - a)×(2a - b)

     2     2
 = - 2a +3a×b - b

 = - 2´ 1+3´ 1´ 2´ cos60° - 4

 = - 3 ,
                
         b - a 2a - b   - 3
∴  cosq = (  )(  )=
         a - b ´ 2a - b 3´ 2

     3
 = -   .
    2
          
∴  b - a 与 2a - b 的夹角为q =150° .

20.解:(1)体重在[60,65)     内的频率

 =1- (0.03 +0.07 +0.03 +0.02 +0.01)´ 5 = 0.2 ,

 频率    0.2
     =    = 0.04 ,
 组距     5
补全的频率分布直方图如图所示:
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(2)设男生总人数为       n ,
   200
由     = 0.2 ,可得  n =1000 ,
    n
体重超过     65kg 的总人数为

 (0.03 +0.02 +0.01)´ 5´ 1000 = 300 .

                                                    150
在  65,70 的人数为    0.03´ 5´ 1000 =150 ,应抽取的人数为     6´     = 3 ,
   [    )                                           300
                                                    100
在  65,70 的人数为    0.02´ 5´ 1000 =100 ,应抽取的人数为      6´    = 2 ,
   [    )                                           300
                                                    50
在  75,80 的人数为    0.01´ 5´ 1000 = 50 ,应抽取的人数为    6´     =1 .
   [    )                                          300
所以在[65,70)   ,[70,75) ,[75,80)三段人数分别为        3,2,1.

(3)中位数为    60kg;平均数为:

 (52.5´ 0.03 +57.5´ 0.07 +62.5´ 0.04 +67.5´ 0.03 +72.5´ 0.02 +77.5´ 0.01)´ 5 = 61.75 (kg)

21.解:(1)在△ABC      中,

∵  cos 2A - cos 2B
      æp    ö   æp   ö
 = 2cosç - A÷cosç  + A÷
      è6    ø   è6   ø
   æ               öæ              ö
   ç  3      1     ÷ç 3      1     ÷
 = 2ç  cos A + sin A÷ç cos A - sin A÷
   è 2       2     øè 2      2     ø

   æ3    2   1  2  ö
 = 2ç cos A - sin A÷
   è4        4     ø
  3        1
 =  cos2 A - sin2 A
  2        2
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  3
 =  - 2sin2 A .
  2
又因为

 cos 2A - cos 2B =1- 2sin2 A - (2cos2 B - 1)= 2 - 2sin2 A - 2cos2 B
                     3
∴  2 - 2sin2 A - 2cos2 B = - 2sin2 A ,
                     2
          1            1
∴  cos2 B = ,∴  cos B =± ,
          4            2
      p   2p
∴  B =  或    .
      3    3
                      p
(2)∵  b = 3 £ a ,∴ B = ,
                      3
        a     c     b     3
由正弦        =     =     =    = 2 ,得
       sin A sin C sin B  3
                          2
 a = 2sin A , c = 2sin C ,
      1
故  a - c = 2sin A - sin C
      2
            æ3    ö
 = 2sin A - sin ç p - A÷
            è2    ø
  3        3
 =  sin A - cos A
  2       2
       æ   p ö
 =  3 sin çA - ÷.
       è    6 ø
因为   b £ a ,所以
 p      2    p     p   p
   £ A < p ,   £ A - <  ,
 3      3    6      6  2

        1        æ   p ö é 3    ö
所以   a - c = 3 sin çA - ÷Î ê , 3÷.
                 ç    ÷  ê      ÷
        2        è   6 ø ë 2    ø
                  
22.解:(1)   f (x) = m×n
        x   x      x
 =  3 sin cos +cos2
        3   3     3
               2x
            cos  +1
    3   2x
 =   sin  +    3
   2    3      2
     æ2x  p ö 1
 = sin ç + ÷+  .
     è 3  6 ø 2
                         2p
∴  f x 的最小正周期为T        =   = 3p .
    ( )                  2
                         3
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     2x  p
∴令     +   = kp , k Î Z ,解得:
     3   6
     p  3
 x = - +  kp , k Î Z ,
     4  2
∴  f (x) 的对称中心为:
 æ    p  3    1 ö
 çx = - +  kp, ÷k Î Z .
 è    4  2    2ø
(2)∵  a = 2 ,(2a - b)cosC = ccos B ,

∴  2sin AcosC = sin C cos B +sin B cosC = sin A ,

∵  sin A >0 ,
         1          p
∴  cosC =  ,可得   C =  .
         2          3
              æ2A  p ö 1  3
又∵   f (A) = sin ç + ÷+  =  ;
              è 3  6 ø 2  2
     æ2A   p ö
∴  sin ç +  ÷=1 ,
     è 3   6 ø
      p
∴  A =  ,
      2
∵  a = 2 ,
      a×sin C
∴  c =      =  3 .
       sin A
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