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人教A版 > 必修5 > 第三章3.3.1 不等式二元一次不等式表示的区域

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赖 晓  慧
新 课 引 入
        我们知道一元一次不等式和一元二

次不等式的解集都表示数轴上的点集,        

那么在平面坐标系中,二元一次不等式

的解集的意义是什么呢?
具 体 例 子
        我们知道, 在平面直角坐标系中, 
以二元一次方程 x+y1=0的解为坐标
                    y
的点的集合{(x, y)|    l
x+y1=0}是经过点       1
(0, 1)和(1, 0)的一条
                  O  1    x
直线l,如图:
       那么, 以二元一次不等式 (即含有
两个未知数, 且未知数的最高次数都
是1的不等式) x+y1>0的解为坐标的
                    y
点的集合A={(x, y)    l
|x+y1>0}是什么图      1

形呢?               O  1    x
  在平面直角坐标系中,所有点被
直线l分三类:① 在l上;② 在l的右上
方的平面区域;③ 在l的左下方的平
面区域.                   y
                  l
                      1

                    O   1    x
   在平面直角坐标系中,所有点被
 直线l分三类:① 在l上;② 在l的右上
 方的平面区域;③ 在l的左下方的平
 面区域.                   y
                   l 2
   取集合A的点(1, 1)、       1
(1, 2)、(2, 2)等,我们发
                              x
现这些点都在l的右上方          O   1  2
的平面区域.
   而点(0, 0)、(1, 1)等等不属于A,
它们满足不等式 x+y1<0,这些点却在l
                         y
的左下方的平面区域.
                    l 2
                        1
                    1
                      O   1  2 x
                        1
   而点(0, 0)、(1, 1)等等不属于A,
它们满足不等式 x+y1<0,这些点却在l
                         y
的左下方的平面区域.
                    l 2
  由此我们猜想:对              1
直线l右上方的任意点(x,       1
                      O   1  2  x
y)都使 x+y1>0成立;对        1
直线l左下方的任意点(x, y)都使 x+y1<0
成立,下面我们证明这个事实. 
        在直线l: x+y1=0上任取一点P(x0, 

y0),过点P作垂直于y轴的直线 y =y0,在
此直线上点P右侧的任意一点(x, y),都有
                       y
x>x0,y =y0,于是x+y    l

1>x +y 1=0.所以x+    1  P(x0, y0)
    0 0            y=y
                     0     (x, y)
y1>0.因为点P (x0, y0)
                      o       x
是l:x+y1=0上的任             1
意点,所以对于直线l: x+y1=0右上方的
任意点(x, y),x+y1>0都成立.
        同理,对于直线l: x+y1=0左下方
的任意点(x, y),x+y1<0都成立.
        同理,对于直线l: x+y1=0左下方
的任意点(x, y),x+y1<0都成立.
        所以,在平面直角坐标系中,以

二元一次不等式 x+y1>0         y
的解为坐标的点的集合          l
{(x, y)|x+y1>0}是直线l: 1
                       o
 x+y1=0右上方的平面           1    x
区域(不包括直线l上的点).
二元一次不等式ax+by+c>0和
 ax+by+c<0表示平面区域:
  二元一次不等式ax+by+c>0和
   ax+by+c<0表示平面区域:

1. 结论:
   二元一次不等式ax+by+c>0和
    ax+by+c<0表示平面区域:

 1. 结论:
        二元一次不等式ax+by+c>0在平面

直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某侧

所有点组成的平面区域.
注  意: 

       把直线画成虚线以表示区域不包

括边界直线,若画不等式ax+by+c≥0

所表示的平面区域时,此区域就包括

边界直线,则把边界直线画成实线.
2. 判断方法:
2. 判断方法:
        由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所
有点(x, y),把它的坐标(x, y)代入ax+by+c,
所得的实数的符号都相同,故只需在这条

直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),以

ax0+by0+c的正负情况便可判断ax+by+c>0
表示这一直线哪一侧的平面区域. 特殊地,
当c≠0时,常把原点作为此特殊点.
应 用 举 例
        [例1] 画出不等式 2x+y6<0表示的

平面区域.
        [例2] 画出不等式组

表示的平面区域.
        [例3] 画出不等式 (x+2y+1)(xy+4)

<0表示的平面区域.
课 堂 练 习
         1. 作出下列二元一次不等式或不

等式组表示的平面区域.

(1) xy+1<0

(2) 2x+3y6≥0

(3) 4x3y≤0
         2.直线x+y+2=0, x+2y+1=0和2x+y

+1=0围成的三角形区域 (包括边界) 用

不等式可以表示为____________.


总  结
  (1) 二元一次不等式表示的平面区
域;
  (2) 二元一次不等式表示哪个平面
区域的判断方法;

  (3) 二元一次不等式组表示的平面
区域.
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