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人教版高中数学必修一函数的奇偶性教学设计

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    人教版高中数学必修一函数的奇偶性教学设计
                    正宁四中    高鹏鹏
教学目标:
1、理解函数奇偶性的概念及其图象特征
2、学会判断函数的奇偶性
3、学会运用奇偶函数的图象研究函数的一些简单的性质
4、培养学生观察、抽象的能力;从特殊到一般的概括、归纳能力;
渗透数形结合思想
教学重点:函数奇偶性的概念及其图象特征
教学难点:函数的奇偶性的判断方法及其性质的简单应运
教学过程:
Ⅰ、引入
    同学们,在我们的生活中,有过许多美的感受也有很多审美观,
给出幻灯片(激发学生对本节课的兴趣)。今天我们就从数学中函
数的角度来研究一下对称美,如:麦当劳的标志建立适当的坐标系
后就关于    y 轴对称。再用幻灯片给出:圆、椭圆、双曲线、抛物线
的图象,它们都具有对称性,但不是函数的图象,我们现在还没能
力研究它,等到上了高二我们在圆锥曲线中自然会学到(给学生一
种憧憬,激发学生的学习动力和上进心)。然后给出:
                  1               1
y  x 2 , y | x |, y  x 3 , y  , y  x 2  2x 1, y  的图象,它们都是函数
                  x              x 1
的图象我们有能力用函数的知识去研究它的对称性,今天我们只研
究类似前四个函数:图象关于             y 轴或原点对称的函数。(板书课题:
函数的奇偶性)
                            1
Ⅱ、讲授新课    给出        y  x 2和y  的图象,引出奇偶函数的概念
                            x
                 y              f (x)  x 2      y            
     1
 f (x) 
     x

(x , f (x ))               x                    (x x, f (x ))                      
   0    0       o                        o          0   0

(x0 , f (x0 ))
      
                              

                                     (x0 , f (x0 ))

                 图(1)                                   图
(2) 
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    观察上图不难发现:图(1)关于              y 轴对称,图(2)关于原点
对称。而且任意两个对称点的共同特征是:横坐标互为相反数。

    那么你能发现两个对称点的纵坐标(函数值)                   f (x0 ) 与 f (x0 ) 的
关系吗?

    图(1)   f (x0 ) = f (x0 ) ,图(2) f (x0 ) =  f (x0 )
如果我们把图象类似图(1)的函数命名为偶函数;图象类似图
(2)的函数命名为奇函数。
就可以给出奇函数和偶函数的定义:
1、    偶函数(even     function):一般地,对于函数          f (x) 的定义域
   内的任意一个      x ,
   都有  f (x)  f (x) (或 f (x)  f (x)  0 ),那么 f (x) 就叫做偶函数。
   偶函数的图象关于        y 轴对称,反过来,图象关于           y 轴对称函数,
必是偶函数。
2、    奇函数(odd      function):一般地,对于函数          f (x) 的定义域
   内的任意一个      x ,
   都有  f (x)   f (x) (或 f (x)  f (x)  0 ),那么 f (x) 就叫做奇函数。

   奇函数的图像关于原点对称,反过来,图像关于原点对称的函数,
必是奇函数。
那么,我们就可以利用定义或图象来判断一个函数的奇偶性
注意:由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件
是,对于定义域内的任意一个             x ,则  x 也一定是定义域内的一个自
变量(即定义域关于原点对称)。
Ⅲ、边讲边练
一、    熟悉定义
1、    判断下列函数的奇偶性
                     1                          1
①  f (x)  x 5  ② f (x)   ③ f (x)  x   ④ f (x)   x  ⑤
                    x 2                         x
 f (x) | x  2 |  | x  2 |  
                 x(x 1)
⑥  f (x)  1  ⑦ f (x) 
                  x 1
2、    已知函数    y  f (x) 是奇函数,如果   f (a)  1,那么
   f (a)  __________
变式:设函数      f (x) 是 R 上的奇函数,且当     x  0时, f (x)  2 x  3,则
 f (2) 等于(    )
                     11                          11
     A. 1        B.           C.1          D.  
                     4                           4
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3、已知   f (x) 是偶函数,且在     x  0处有定义,你能确定       f (0) 的值吗?

   已知  f (x) 是奇函数,且在     x  0处有定义,你能确定       f (0) 的值吗?
二、引伸提高

例 1、设   f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且在      (,0) 上是增函数,则
   f (2) 与 f (a 2  2a  3)(a  R) 的大小关系是(    )
A.  f (2)  f (a 2  2a  3) B. f (2)  f (a 2  2a  3) C. f (2)  f (a 2  2a  3)  
  D.与  a 的取值有关

练习、设函数      f (x) 是定义在  R 上的偶函数,且在区间        (,0) 上是增函
    数,

又  f (2a 2  a 1)  f (3a 2  2a 1) ,则 a 的取值范围是_______            
    。
例 2、已知    f (x) 为偶函数,  g(x) 是奇函数,且     f (x)  g(x)  x 2  x  2 ,
    求 f (x) 与 g(x) 的解析式。
练习、已知     f (x) 、 g(x) 的定义域均为  R , f (x) 为奇函数,  g(x) 为偶函

数,且   f (x)  g(x)  x 2  x 1,求 f (x) 的解析式. 

例 3、已知    f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当       x  0 时, f (x)   2x 1,
那么当   x  0时, f (x) 的解析式为                       。
练习、已知     f (x) 是定义在  R 上的奇函数,     x  0时, f (x)  x 2  2x  3,
那么当   x  0 时, f (x) 的解析式为                       。
变式提高:(1)      求 f (x) 的解析式;(2)   画出   y  f (x) 的图像;(3) 求

出  f (x) 的单调区间。
         (如时间不够就作为课后练习)

              x 2  2x  3,x  0, 
             
解:(1)   f (x)    0  ,x  0
              2
             x  2x  3,x   ,0

    (2) 画图略.(3) 单调减区间为         ,1,1, ;单调增区间

为1,0,0,1.
课堂小结:本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常
有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,
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必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。灵活运用概念
及图象特征解决一些函数问题。
设计思想
    函数的奇偶性是函数的重要性质,正确理解函数的奇偶性概念,
灵活运用奇偶性的概念和性质解决问题是本节课的指导思想。
    1.自然引入、深入提示、全面理解概念,正确,灵活运用概念,
体现出本节课的层次。
    2.提出判断函数奇偶性应注意的要点。
    3.根据解题的需要作出必要的提高和引伸。
   4.设计一些问题及选择一些例题,用于引导,启发学生思考、
   探索、解决、完成上面提出的任务。
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